第七讲 函数的连续性,内容提要 1.函数的连续性； 2. 函数的间断点； 3. 连续函数的和、差、积、商的连续性； 4.反函数、复合函数与初等函数的连续性； 5. 闭区间上连续函数的性质.,1. 理解函数在一点连续的概念，了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念； 2. 会判断函数间断点及其类型； 3.了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性，知道连续函数的保号性，了解初等函数的连续性； 4.掌握用连续性计算初等函数的极限； 5.了解闭区间上连续函数的性质——最大、最小值定理,熟练掌握介值定理.,教学要求,,,改变量,,(可正可负),的改变量 ,,（可正可负),当自变,一、函数的连续性,1. 自变量的改变量和函数的改变量,（1）自变量的改变量,（2）函数的改变量,注:,y,x,D,D,,,分别为整体记号,,,不能理解为,及,,,,,曲线上相应点的纵坐标的改变量。,定义1,,如果,在上述定义中,,从而,定义2,如果,．,2.函数在点,处的连续性,指出:,定义1与定义2是等价的.,证明,因为,结论:,练习,证,由定义1知,右连续但不左连续 ,,在左端,则称,函数连续点的全体所构,称为函数的连续区间。,在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。,证明,由极,限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：,法则1,则,点连续。,即,单调连续函数的,反函数在其对应的区间上是连续的。,应用函数连续的定义与上述两个法则，,可以证明,则,法则3 说明连续函数的复合函数仍为连续函数，,并可得如下结论：,例如,,法则,解,故,指出:,解,解,练习,定理,,,则,这表明:,对连续函数在连续点求极限,,只需求该点函数值.,由以上法则，可得：,解,因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。,练习,求下列函数的连续区间，并求极限：,解1,解2,二、函数的间断点,点。,间断点分类,：,按左、右极限是否,都存在来分类。,（一）第一类间断点,(左、右极限均存在),但不相等;,2.跳跃间断点,1.可去间断点,（二）第二类间断点,,,,右极限,对于可去间断点，,我们可以补充,或改变,指出：,由于,,二类间断点。,（无穷型间断点）,解,练习,是可去间断点,则补充或改变定义,使函数在该点连续。,如果,解,解,,三、闭区间上连续函数的性质,我们不证明，只给出几何说明。,即在闭区间,使得,,也不存在最小值。,也不存在最小值。,是连续函数,【注意】,定理的结论不一定成立。,(1),对开区间内的连续函数,或闭区间上有,它的最大值是,,点上取得。,则对于满足,,使得,,,,,,定理2指出：,则至少存在一点,几何意义：,例,,实根。,证明,,,故,根据推论可知，,至少存在一点,由推论知：,练习,证明,证明,,,小结,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,5. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点:,无穷型,振荡型.,间断点,,6. 闭区间上连续函数的性质.,可去型,跳跃型.,第二类间断点:,3. 连续函数的运算法则;,① 法则1（连续函数的四则运算法则）;,② 法则2（反函数的连续性）;,③ 法则2（复合函数的连续性）;,4. 初等函数的连续性;,